Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan – Pada kesempatan ini admin tarokutu.com akan berbagi mengenai Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan. Pada postingan ini akan dibahas mulai dari pengertian bentuk akar sampai pada bilangan berpangkat pecahan yang merupakan bagian Matematika SMP Kelas 9. Yuk kita simak bersama penjelasan tentang Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan.

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Pengertian Bentuk Akar

Sebelumnya, pelajari perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan berikut.

\sqrt{4}=\sqrt{2^{2}}=2

\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3

\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}=4

Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan yang telah kamu pelajari tersebut memenuhi definisi sebagai berikut.

\sqrt{a^{2}}=a dengan a bilangan real positif.

Sekarang, coba kamu periksa \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6}, dan \sqrt{7}, apakah memenuhi Definisi di atas atau tidak? Jika kamu memeriksanya dengan benar maka bentuk-bentuk tersebut tidak memenuhi Definisi tersebut. Akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi definisi tersebut dinamakan bentuk akar. Jadi, \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6}, dan \sqrt{7} merupakan bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 3, 5, 6, dan 7.

Sifat-Sifat dan Menyederhanakan Bentuk Akar

Sebuah bentuk akar dapat dituliskan sebagai perkalian dua buah akar pangkat bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

\sqrt{15}=\sqrt{3x5}=\sqrt{3}x\sqrt{5}

\sqrt{24}=\sqrt{4x6}=\sqrt{4}x\sqrt{6}=2\sqrt{6}

\sqrt{50}=\sqrt{25x2}=\sqrt{25}x\sqrt{2}=5\sqrt{2}

Ketiga contoh di atas memperjelas sifat berikut.

Sifat 1

\sqrt{ab}=\sqrt{a}x\sqrt{b} dengan a dan b bilangan real positif.

Sekarang, pelajari contoh berikut.

\sqrt{\frac{4}{6}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}

\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}

\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}

Contoh-contoh tersebut memperjelas sifat berikut.

Sifat 2

\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} dengan a ≥ 0 dan b > 0.

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Pelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut.

  • 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=\left ( 2+3 \right )\sqrt{3} = 5\sqrt{3}
  • 8\sqrt{7}+11\sqrt{7}=(8+11)\sqrt{7}=19\sqrt{7}
  • 7\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(7-4)\sqrt{5}=3\sqrt{5}
  • 23\sqrt{6}-12\sqrt{6}=(23-12)\sqrt{6}=11\sqrt{6}

Contoh-contoh tersebut menggambarkan sifat-sifat berikut.

Sifat 3

a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0.

Sifat 4

a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}dengan a, b, c, bilangan real dan c ≥ 0.

b. Perkalian dan Pembagian

Perhatikan kembali Sifat 1. Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian bentuk akar seperti berikut.

\sqrt{2}x\sqrt{3}=\sqrt{2x3}=\sqrt{6}

\sqrt{5}x\sqrt{10}=\sqrt{5x10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

2\sqrt{3}x4\sqrt{7}=2x4x\sqrt{3x7}=8\sqrt{21}

 

Uraian tersebut menggambarkan sifat perkalian bentuk akar sebagai berikut.

Sifat 5

p\sqrt{a}xq\sqrt{b}=pq\sqrt{qb} dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

Sekarang, perhatikan Sifat 2 . Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan pembagian bentuk akar berikut.

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{5}{7}}

\frac{8\sqrt{2}}{12\sqrt{3}}=\frac{8}{12}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}

Uraian tersebut menggambarkan sifat pembagian bentuk akar sebagai berikut.

Sifat 6

\frac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}}=\frac{p}{q}\sqrt{\frac{a}{b}} dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari bilangan rasional. Masih ingatkah kamu tentang materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata-katamu sendiri.

Di dalam matematika, selain bilangan rasional, terdapat bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \frac{a}{b} dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bentuk akar, misalnya \sqrt{2},\sqrt{3},dan\sqrt{5}. Pecahan yang penyebutnya bentuk akar juga termasuk bilangan irasional, misalnya \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{5+1}},\frac{3}{10-\sqrt{6}} dan lain-lain.

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Caranya yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan-pecahan tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawan penyebutnya. Secara umum, pecahan yang penyebutnya bentuk akar yang dapat dirasionalkan adalah \frac{a}{\sqrt{b}},\frac{c}{a\pm \sqrt{b}},dan\frac{c}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}} dengan a, b, dan c bilangan real. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. Merasionalkan Bentuk \frac{a}{\sqrt{b}}

Cara merasionalkan bentuk \frac{a}{\sqrt{b}} adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu :

\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}=\frac{a}{b}\sqrt{b}

b. Merasionalkan Bentuk \frac{c}{a\pm \sqrt{b}}

Untuk pecahan bentuk \frac{c}{a\pm \sqrt{b}}, cara merasionalkannya adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan a± \sqrt{b}. Bentuk sekawan dari a + \sqrt{b} adalah a – \sqrt{b}, sedangkan bentuk sekawan dari a-\sqrt{b} adalah a+ \sqrt{b}.

\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-(\sqrt{b})^{2}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}

c. Merasionalkan Bentuk \frac{c}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}

Sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk \frac{c}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}} adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan dari \sqrt{a} ± \sqrt{b}. Bentuk sekawan dari \sqrt{a}+ \sqrt{b} adalah \sqrt{a}\sqrt{b}, sedangkan
bentuk sekawan dari \sqrt{a}\sqrt{b} adalah \sqrt{a}+ \sqrt{b}.

\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{a})(\sqrt{b})+(\sqrt{a})(\sqrt{b})-(\sqrt{b})^{2}}

=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}

Bilangan Berpangkat Pecahan

Perhatikan kembali Definisi

\sqrt{a^{2}}=a dengan a bilangan real positif.

Definisi tersebut menyatakan bahwa bilangan berpangkat a^{n} didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n faktor. Misalnya, 2² = 2 × 2. Sekarang, bagaimana dengan 2^{\frac{1}{2}}? Untuk mengetahui definisi pangkat pecahan, pelajari uraian berikut.

(i) 9^{a} = 3. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan a hasilnya sama dengan 3. Berapakah nilai a?
Oleh karena

9^{a} = 3 maka (3^{2})^{a} = 3

3^{2a}=3^{1}

Ini berarti 2a = 1 atau a =½ sehingga 9^{\frac{1}{2}}=3

Oleh karena \sqrt{9} = 3 maka \sqrt{9} = 9^{\frac{1}{2}}=3

(ii) 9^{b}=27. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan b hasilnya sama dengan 27. Berapakah nilai b?

Oleh karena 9^{b}=27 maka

\left ( 3^{2} \right )^{b}=3^{3}

3^{2b}=3^{3}

Ini berarti 2b = 3 atau b = \frac{2}{3} sehingga 9^{\frac{3}{2}}=27

Oleh karena \sqrt[3]{9^{2}} = 27 maka \sqrt[3]{9^{2}} = 9^{\frac{3}{2}}=27

Uraian (i) dan (ii) memperjelas definisi bilangan berpangkat pecahan, yaitu sebagai berikut.

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} atau \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} dengan a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat positif.

Sifat-sifat yang berlaku untuk bilangan berpangkat bulat berlaku juga untuk bilangan berpangkat pecahan.

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan | admin | 4.5