Permutasi, Faktorial, Permutasi Unsur sama dan Berbeda

Permutasi – Sebelum mempelajari permutasi, kita perlu memahami operasi faktorial terlebih dahulu.

a. Faktorial

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

3 ×2 ×1 = 3!

4 ×3 ×2 ×1 = 4!

5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 5!

dan seterusnya.

Tanda ”!” disebut notasi faktorial.

Dengan demikian, faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut.

Jika n bilangan asli, maka n faktorial (ditulis n!) didefinisikan dengan

n! = n ×(n – 1) ×(n – 2) ×(n – 3) ×… ×3 ×2 ×1

Dari definisi di atas, kita juga memperoleh

n! = n(n – 1)!

Nilai 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n= 1, diperoleh

1! = 1(1 – 1)! ‹⇔ 1 = 0!

Dari kesamaan terakhir, ternyata untuk setiap kejadian, 0! = 1 selalu benar. Untuk itu, disepakati bahwa

0! = 1

Contoh Soal

Hitunglah nilai-nilai operasi faktorial berikut.

a. 4! + 3!

b. 4! ×3!

Jawab:
a. 4! + 3!

= (4 ×3 ×2 ×1) + (3 ×2 ×1)

= 24 + 6 = 30

b. 4! ×3!

= (4 ×3 ×2 ×1) ×(3 ×2 ×1)

= 24 ×6 = 144

b. Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda

Perhatikan susunan angka-angka yang terdiri atas angka 4, 5, dan 6 berikut.

456 465 546 564 645 654

Letak angka dalam susunan tersebut memengaruhi nilai bilangan yang terbentuk. Bilangan-bilangan 456 dan 465.

Demikian juga untuk susunan yang lain. Banyak susunan angka ratusan yang dapat dibuat dari 3 buah angka, yaitu 4, 5, dan 6 sebanyak 6 buah. Bagaimana susunannya jika angka-angka yang tersedia 4, 5, 6, dan 7? Susunan angka ratusan yang mungkin dari 4 angka, yaitu 4, 5, 6, dan 7 adalah sebagai berikut:

456 465 546 564 645 654

457 475 547 574 745 754

467 476 647 674 746 764

567 576 657 675 756 765

Ternyata, ada 24 cara. Susunan objek-objek yang memerhatikan urutan seperti ini dinamakan permutasi.

Dari permasalahan di atas, diperoleh

  • jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 3 angka yang tersedia, banyak susunannyaPermutasi
  • jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 4 angka yang tersedia, banyak susunannyaPermutasi1
  • jika kalian teruskan, angka-angka disusun terdiri atas kangka dari nangka yang tersedia, banyak susunannya adalahPermutasi2

Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Permutasi k unsur atau objek dari nunsur yang tersedia, dengan memerhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan rumusRumus-Permutasi

Dalam beberapa buku notasi P_{n}^{k} dituliskan sebagai nPk,nPk, atau P(n, k).

c. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Pada pembahasan sebelumya, permutasi memuat unsur yang sama. Sekarang perhatikan unsur penyusun ”APA” yaitu A, P, dan A. Huruf Apada urutan pertama dan ketiga meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A1 dan A3 masing-masing adalah huruf A yang pertama dan ketiga.

  • Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1, P, A3 (A1 dan A3 diandaikan berbeda) adalah P_{3}^{3} = 3! = 3 ×2 ×1 = 6. Dengan demikian, diperoleh susunan dalam 3 kelompok berikut.hasil-permutasi
  • Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1PA3 (A1dan A3 diandaikan sama) susunannya adalah APA AAP PAA

Jadi, hanya terdapat 3 cara. Hal ini terjadi karena pada setiap kelompok terdapat 2! = 2 permutasi pada penyusunan 2 huruf A yang sama, yaitu A1 dan A3.Dengan demikian, permutasi 3 unsur, dengan 2 unsur yang sama dari 3 unsur adalah contoh-rumus-permutasi

Secara umum, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Permutasi n unsur, dengan kunsur sama dari n unsur itu (n ≥ k) adalah rumus-permutasi-1

Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut.

Untuk permutasi n unsur, dengan k1 unsur sama, k2 Unsur sama, …., dan kn unsur sama dari n unsur (k1+ k2+ … + knn), yaitu rumus-permutasi-2

Baca :

Demikianlah info Permutasi, Faktorial, Permutasi Unsur sama dan Berbeda dari admin tarokutu.com, semoga bermanfaat. [tu]

Permutasi, Faktorial, Permutasi Unsur sama dan Berbeda | admin | 4.5