Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-Sifat Operasi Himpunan – Pembahasan Himpunan kali ini adalah Sifat-sifat Operasi Himpunan, pada pembahasan ini akan dibahas tentang Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan dan Sifat-sifat selisih himpunan. Berikut penjelasan lengkap tentang Sifat-Sifat Operasi HimpunanSifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan

Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.

Jika A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5}

C = {4, 5, 6}

maka A ˆ∩ B = {3, 4} dan B ˆ∩ A = {3, 4}.

Tampak bahwa A ˆ∩ B = B ∩ ˆA.

Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.

Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisan Aˆ ∩ B = B ∩ ˆA.

Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa

Aˆ ∩ B = {3, 4} dan B ˆ∩ C = {4, 5}, sehingga

(A ∩ ˆB) ˆ∩ C = {3, 4} ˆ{4, 5, 6} = {4}

Aˆ ∩ (B ˆ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ˆ∩ {4, 5} = {4}

Tampak bahwa (A ˆ∩ B) ˆ∩ C = A ˆ∩ (B ˆ∩ C).

Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.

Jika A = {1, 2, 3, 4}

maka

A ∩ ˆA = {1, 2, 3, 4} ˆ{1, 2, 3, 4}

A ∩ ˆA = {1, 2, 3, 4}

A ∩ ˆA = A

Jadi, A ˆ∩ A = A.

Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.

Untuk setiap h impunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku

a. sifat identitas irisan

Aˆ ∩ S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)

b. sifat komplemen irisan

Aˆ ∩AC = ؇.

Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan.

Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B ‰∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}, A ˆ∩ B = {3}, dan Aˆ ∩ C = {3}.

Dengan demikian diperoleh

Aˆ ∩ (B ‰∪ C) = {1, 2, 3} ∩ ˆ{3, 4, 5, 6, 7}

Aˆ ∩ (B ‰∪ C) = {3}

(A ˆ∩ B) ‰∪ (A ˆ∩ C) = {3} ‰∪ {3}

(A ˆ∩ B) ‰∪ (A ˆ∩ C) = {3}

Tampak bahwa A ∩ ˆ(B ‰∪ C) = (A ˆ∩ B) ‰∪ (A ˆ∩ C).

Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A ∩ ˆ(B ‰∪ C) = (A ˆ∩ B) ‰∪ (A ˆ∩ C)

Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.

Sifat-sifat selisih himpunan

Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Misalkan

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {1, 2, 3, 6}

C = {1, 2, 4, 8}

maka

A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A – A =‡ A – ‡∅
A – ‡∅ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – ‡∅

A – ‡∅ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A – ‡∅ = A.

Tampak bahwa A – A = ‡∅ dan A – ∅ ‡= A.

Karena A – ‡∅ = A, maka ‡adalah identitas pada selisih himpunan.

Sekarang, perhatikan bahwa B ˆ∩ C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh

A – (B ˆ∩ C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2} = {3, 4, 6, 12}

(A – B) ∪ ‰(A – C) = {4, 12} ‰{3, 6, 12} = {3, 4, 6, 12}

Tampak bahwa A – (B ˆ∩ C) = (A – B) ∪ ‰(A – C).

Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku

A – (B ∩ ˆC) = (A – B) ‰∪ (A – C)

Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.

Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap gabungan.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku

A – (B ‰∪ C) = (A – B) ˆ∩ (A – C)

Baca :

Demikianlah pembahasan tentang Sifat-Sifat Operasi Himpunan, semoga bermanfaat. Lihat juga Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta. [tu]

Sifat-Sifat Operasi Himpunan | admin | 4.5