Teorema Binomial Newton

Teorema Binomial Newton – Pada kesempatan ini admin tarokutu.com akan berbagi tentang Teorema Binomial Newton, berikut penjelasan lengkap tentang Teorema Binomial Newton.

Bentuk a+ b, x+ y, x²– y², dan seterusnya dinamakan bentuk binom. Termasuk bentuk (a+ b)n. Bentuk (a+ b)n dapat diuraikan menjadi suku-sukunya. Proses menguraikan ini dinamakan perluasan atau ekspansi binomial atau binomial Newton.

Teorema Binomial Newton (Teorema Binom)

Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.

Untuk n bilangan bulat positif, berlakuTeorema-Binomial-Newton

Dapat juga ditulis dengan notasi sigma berikut.Teorema-Binom

Untuk n = 1 → (a+b)¹  → koefisien C_{0}^{1}    C_{1}^{1}

Untuk n = 2 → (a+b)²  → koefisien C_{0}^{2}   C_{1}^{2}   C_{2}^{2}

Untuk n = 3 → (a+b)³  → koefisien C_{0}^{3}   C_{1}^{3}   C_{2}^{3}   C_{3}^{3}

Untuk n = 4 → (a+b)4 → koefisien C_{0}^{4}   C_{1}^{4}   C_{2}^{4}   C_{3}^{4}   C_{4}^{4}

Untuk n = 5 → (a+b)5 → koefisien C_{0}^{5}   C_{1}^{5}    C_{2}^{5}   C_{3}^{5}   C_{4}^{5}   C_{5}^{5}

Jika kalian selesaikan akan diperoleh susunan koefisien berikut.

(a+b)¹    1    1 → a + b

(a+b)²    1    2   1 → a² + 2ab + b²

(a+b)³    1    3   3   1 → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a+b)4     1    4   6    4    1 → a4+ 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b)5     1    5   10  10  5   1 → a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+5ab4+ b5

Contoh Soal :

Uraikan bentuk berikut dalam suku-sukunya.

a. (x+ y)3

b. (x+ y)4

Pembahasan :

a. (x+ y)3 = 1x3+ 3x2y+ 3xy2+ 1y3

= x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3

b. (x+ y)4

= 1x4+ 4x3y+ 6x3y2 + 4xy3+ 1y4

= x4+ 4x3y+ 6x2y2+ 4xy3= y4

Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah

Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa

2^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left \binom{n}{l}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}

untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2n = (1 + 1)n. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh

2^{n}=\left ( 1+1 \right )^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.1^{n-k}.1^{k}

 

Karena 1nk = 1 dan 1k = 1. Akibatnya,

2^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left \binom{n}{l}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}

Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan tersebut.

Baca : Persamaan Eksponen

Demikianlah pembahasan tentang Teorema Binomial Newton dari admin tarokutu.com, semoga bermanfaat dan bisa menambah wawasan para pembaca setia blog sederhana ini. [tu]

Teorema Binomial Newton | Rumusiana | 4.5