Aturan Integral Substitusi dan Contoh Soal

Aturan Integral Substitusi –  Kalau sebelumnya admin tarokutu.com sudah berbagi tentang Integral Tertentu, teorema dan Contoh Soal. Kali ini admin akan berbagi kembali tentang Aturan Integral Substitusi. Ini masih lanjutan pembahasan Integral Tak Tentu. Ok langsung saja kita simak bersama penjelasan lengkap Aturan Integral Substitusi.

Aturan Integral Substitusi

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5.Aturan-Integral-Subtitusi

Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal Aturan Integral Substitusi:

Hitunglah integral dari:

a. \int x\sqrt{9-x^{2}}dx

b. \int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx

c. \int \frac{x}{(1-2x^{2})}4dx

Jawab:

a. Misalkan u =9 - x², maka du = -2x dx

xdx=\frac{du}{-2}

\int x\sqrt{9-x^{2}}dx=\int (9-x^{2})^{1/2}xdx=\int u^{1/2}(\frac{du}{-2})

=-\frac{1}{2}u^{1/2}du=-\frac{1}{2}x\frac{2u^{3/2}}{3}+c

=-\frac{1}{2}x\sqrt[2]{u^{3}}x\frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}u\sqrt{u}+c

=\frac{1}{3}\left ( 9-x^{2} \right )\sqrt{9-x^{2}}+c

Jadi, \int x\sqrt{9-x^{2}}dx=-\frac{1}{3}\left ( 9-x^{2} \right )\sqrt{9-x^{2}}+c

b. Misalkan, u\sqrt{x}=x^{1/2}

\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

dx = 2\sqrt{x} du, sehingga

\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{sinu}{\sqrt{x}}du

= 2\int sin u du

= -2 cos u + c

= -2 cos \sqrt{x} +c

c. Misalkan u = 1 - 2x², maka du = -4x dx

dx=\frac{du}{-4x}

sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

\int \frac{x}{1-2x^{2}}dx=\int \frac{x}{u^{4}}.\frac{du}{\left ( -4x \right )}    Teorema 5

= – \frac{1}{4\int u^{-4}}du

\left ( -\frac{1}{4} \right )\left ( -\frac{1}{3} \right )u^{-3}+c

\frac{1}{12}u^{-3}+c

Substitusi u = 1 – 2x² ke persamaan 12u-³ + c

\int \frac{x}{\left ( 1-2x^{3} \right )^{4}}dx=\frac{1}{12}u^{-3} + c

\frac{1}{12} (1 2x2 )-3+ c

Jadi, \int \frac{x}{\left ( 1-2x^{2} \right )^{4}}dx=\frac{1}{12}\left ( 1-2x^{2} \right )^{-3}+c=\frac{1}{12\left ( 1-2x^{2} \right )^{3}}+c

Tips Menyelesaikan Soal dengan Aturan Integral Substitusi

Penyelesaian soal-soal Integral menggunakan sistem Integral Substitusi biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan integral yang memuat pangkat tinggi dari suatu suku aljabar. Biasanya kita akan memisalkan suku aljabar tersebut dengan u kemudian merubah bentuk aljabar tersebut dalam u dan seterusnya. Cara seperti ini memakan waktu yang cukup lama, kali ini admin sajikan cara cepat menyelesaikan permasalahan integral substitusi tanpa permisalan, sehingga lebih singkat dan sederhana. Perhatikan contoh berikut:

Contoh :

1. ∫ (2x + 5)6 dx = ….

Penyelesaian :

  Turunan dari 2x + 5 = 2

sehingga:
\int \left ( 2x+5 \right )^{6}dx=\frac{1}{2}.\frac{1}{6+2}\left ( 2x+5 \right )^{7}+c=\frac{1}{14}\left ( 2x+5 \right )^{7}+c

2. ∫ 3x (4x2 – 3)7 dx = ….

Penyelesaian :

Turunan dari 4x2 – 3 = 8x, ambil koefisien  variabel x dari turunan yaitu 8 sebagai pembagi dan x diluar kurung di abaikan.

sehingga :

\int 3x\left ( 4x^{2}-3 \right )^{7}dx=\frac{3}{8}.\frac{1}{7+1}\left ( 4x^{2}-3 \right )^{8}+c=\frac{3}{64}\left ( 4x^{2}-3 \right )^{8}+c

3. ∫(x – 2) (4x2 – 16x + 7)7  dx = … .

Penyelesaian :

Turunan dari  4x2 – 16x + 7 = 8x – 16 = 8(x – 2) ambil koefisien dari (x – 2) yaitu 8 sebagai pembagi sedangkan ( x – 2 ) diabaikan.

sehingga :

\int \left ( x-2 \right )\left ( 4x^{2}-16x+7 \right )^{7}dx=\frac{1}{8}.\frac{1}{7+1}\left ( 4x^{2}-16x+7 \right )^{8}+c=\frac{1}{64}\left ( 4x^{2}-16x+7 \right )^{8}+ c

Demikianlah penjelasan admin tarokutu.com tentag Aturan Integral Substitusi yang bisa dibagikan, semoga bermanfaat dan bisa menambah wawasan dalam masalah integral tak tentu. Terima kasih atas kunjungannya…

Aturan Integral Substitusi dan Contoh Soal | admin | 4.5